RSS

PPI – 09 – prutové soustavy

Duben 02

-blackboard-college-wallpaper-the-science-of-first-class-h-n-ibackgroundz.comPráce s bakalářkou se rozrostla do nečekaných rozměrů a já si musel ujasnit pár priorit. Nu, překlenul jsem jeden z nejhorších (prozatím) bodů, tak jsem si řekl, že bych to tu za odměnu mohl trochu oživit. 🙂 Přecijen někteří z vás tento týden píší.

Ti šťastnější až v pátek. Avšak na programu otázek je pouze 1. úloha KVDR momenty a 2-4. úloha tah/tlak (SU i SN), vše z toho již bylo probráno zde. Jen mne mrzí, že jsem nestihl nějaké příklady.

Co dnes probereme. Budeme pokračovat v tahu/tlaku ~ prutových soustav.

Přednáška >> [PDF]<< a její audio nahrávka: PPI Přednáška [9] – 05.3.2013 – Fuis: >> [MP3] <<

Prutová soustava

O jakou soustavu prutů se jedná? O složení, kde:

  • jsou pruty spojené k sobě rotačními vazbami a následkem toho zde není moment
  • soustava splňuje vnitřní nepohyblivost

Na začátek 2 příklady, kdy podmínky splněny nejsou a nejedná se o prutovou soustavu:

9_soustavaneoustava

Vlevo: Pokud zabereme silami, celá sestava se zhroutí.
Vpravo: Pokud zabereme silami, soustava se nezhroutí, avšak přibudou momenty.

Plně 100% a bezchybná soustava, která nepřenáší žádný moment (pouze tah/tlak, protože je složena jen z binárně zatížených členů), je např:

9_soustavactyr

$P$ … počet prutů se musí rovnat $2 \cdot k -3$, kde $k$ jsou „klouby“.

Prut. soustavy staticky neurčité

Svět však není tak shovívavý, aby nám dopřál počítání bez deformačních podmínek a tak existují -převážně- staticky neurčité úlohy. Proč? Už jsme si to řekli v nějaké x-té lekci. Čím více (v rozumné míře) staticky neurčitá úloha, tím lepší má únosnost / stabilitu a další parametry. Takový rám kola je myslím 9x (nebo 6x) staticky neurčitý. To je pak rovnic 🙂

Vnější SN

Neboli: Omezení deformace vnějšími vazbami

Prutová troj-soustava

$\mu = 3$ … počet neznámých parametrů: $\{F_A, F_B, F_D\}$.
$\nu = 2$ … počet možných podmínek.
$S_e = \mu – \nu = 1$ … 1x staticky externě neurčitá.

Protože se jedná o prutovou soustavu, která obsahuje jen binárně zatížené členy, může být počet neznámých $\mu$ vždy jen 1 / vazba.

Napíšeme tedy počet neznámých $\mu = 3$, počet možných $\nu = 2$ (v prutové soustavě není moment). Vyjde nám to jednou staticky neurčité. Co s tím? máme dvě možnost. Ta méně pěkná je zde:

ČÚ a následné rozdělení na 2 tělesa

Rozdělení na 2 tělesa

DP: posunutí v bodě $C$ od prutu $2, 3$ = posunutí v bodě $C$ od prutu $3$

Řeším tak pak rovnice pro oba stavy a budu muset psát 2 Castiglianovy věty.

Snazší řešení je však:

ČÚ s uvolněním jedné z vazeb

Částečné uvolnění

Posunutí v bodě $D$ je rovnou parciální derivaci energie napjatosti $W$ z prutů $2, 3, 4$ dle síly normálové $N_4$.
DP: $N_4 = F_D$

Zde už pěkně jen jeden Castiglian. Vyřeším jím sílu $N_4$ (potažmo $F_D$) a zbytek už je jen o doplnění do rovnic SR.

Info

Jakou vazbu si mám vybrat a uvolnit? V tomto případě je to jedno. Avšak řídíme se pravidlem, že vždy uvolňujeme vazbu, která je tak nějak nejvíce/nejméně sympatická. Je něčím odlišná, přímo excentrická! 🙂

Pokud by třeba byla vazba $A$ pružina a ne rotační vazba, jako na obr:

9_soustavatroj4

Uvolníme právě tuto vazbu s pružinou (a bod $D$ necháme s nezájmem být), provedeme částečné uvolnění a Castiglianovu větu sestrojíme s pamatovákem na pružinu, neboli $c_p \cdot F_A$. Už to nebude posunutí $u=0$.

To samé by platilo, pokud by se jednalo o:

  • ohřátí (přesah)
  • prut by byl delší (přesah)
  • prut by byl kratší (vůle)
  • ochlazení (vůle)

Vnitřní SN

Co však vnitřní SN, neboli pokud přidáme navíc jeden prut, který bude omezovat deformaci uvnitř.

Soustava přeurčená

$P$ … prutů máme 6
$k$ … klouby máme 4

 

Opět, jak už to bývá u všeho staticky neurčitého, částečně uvolníme a jeden prut vyjmeme ze soustavy pryč.

9_soustavact2

 

Zde si musíme dát pozor na znamínko. Castiglian hovoří jasně. Pokud je to po směru pohybu, je to plus, pokud proti směru pohybu, je to mínus.

Energie napjatosti celé soustavy je pak:

$$\dfrac{\partial W^4}{\partial N_4} + \dfrac{\partial W^{2, 3, 5, 6, 7}}{\partial N_4} = 0$$

A tomu odpovídá částečné uvolnění:

9_soustavact3

Budeme tedy provádět vždy jen jeden řez, nebudeme z tělesa nic odjímat a Castiglian se bude = 0. Derivujeme tedy vždy energii napjatosti celé soustavy ku derivaci síly ve vlákně řezaného prutu.

Pokud byste zapomenuli, co se vlastně skrývá pod energií napjatosti, nedivil bych se. Zde tedy pro připomenutí:

$$\dfrac{\partial W_{soustavy}}{\partial N_4}=\sum_{1}^{n}{\dfrac{N_i l_i}{E_i S_i}} = \dfrac{N_1 l_1}{ES_1}+\dfrac{N_2 l_2}{ES_2}+\dfrac{N_3 l_3}{ES_3}+\dfrac{N_4 l_4}{ES_4}+\dfrac{N_5 l_5}{ES_5}+\dfrac{N_6 l_6}{ES_6}+\dfrac{N_7 l_7}{ES_7} $$

Kde:

  • $E$ … modul tuhosti průřezu v tahu $[MPa]$
  • $S$ … obsah plochy průřezu $[mm^2]$
  • $l$ … délka prutu $[mm]$
  • $N$ … hodnota tahové síly v prutu $[N]$

Info

Opět upozorňuji, pokud by byla v soustavě pružina, volíme prut, který má s touto pružinou co dočinění. Zjednoduší se nám pak Castiglian na tento tvar:

9_soustavact4

 Tuhé tělesa

Tuhé tělesa se nám budou líbit. Proč? Protože je většinou bereme jako „stěnu“ nebo něco, co se nám vůbec nedeformuje (oproti ostatním prutům).

Příklad takového tuhého tělesa by mohla být sirka, pokud se ji budeme snažit ohnout tím, že na ni upevníme 2 vlákna vlasů a budeme tahat. Vlasy se jistojistě (doufám :-D) přetrhnou o dost rychleji, než by se stačila sirka ohnout, ne-li přímo rupnout. Považujeme tedy sirku za tuhé těleso a počítáme pouze a jen vlasy.

Pokud však budeme sirkou(kami) tlačit do ocelové tyčky, bude to právě sirka, kterou budeme zkoumat a ocelová tyčka bude tuhé těleso.

Pokud však budeme s naší ocelovou tyčkou machrovat, že udrží dům ve vzduchu, budem onen dům tuhé těleso a tyčka se prodlouží a praskne.

Je to relativní 🙂 Pokud nám tedy ve škole řeknou, že se jedná o tuhé těleso, nemusíme ho zahrnovat do výpočtu a bereme ho tak, jak leží a stojí. (V praxi ho buď započítáváme, nebo s podstatnými argumenty odstraníme z výpočtů, ale musíme objasnit, proč jsme tak udělali.)

Uveďme si příklad:

9_soustavatuh1

Dalším postupem je už klasicky úplné uvolnění.

9_soustavatuh2

Zde vidíme, že těleso vyšlo 1 x SN.

Nezbývá nám tedy, než částečně uvolnit.

Nevidíme zde žádné „viditelné nápadné“ pruty jako třeba ohřátí, prodloužení, ochlazení, zkrácení, nebo pružinu, protože je naprosto čistě na nás, jakou si zvolíme sílu a částečně ji uvolníme. Nedoporučuji moc rotační vazby a pokud je tam někde tah / tlak, tak do něj 🙂

9_soustavatuh3

Z Castiglianovy věty, kdy jsme si určili, že posuv bodu $A$ bude nulový, jsme vyřešili sílu $N_2 = F_A$ a dále už můžeme postupovat klasickými rovnicemi statické rovnováhy. $(\sum x = 0\ |\ \sum y  = 0\ |\ \sum M_{o_E} = 0)$

Tím dostaneme zbylé síly $F_B, F_{Ex}, F_{Ey}$ a můžeme určovat další parametry, které by nám úloha dala. Například prodloužení či bezpečnost a jiné.


Pro dnešek tedy vše a příště se vrhneme na prostý ohyb.

 

 

 

 

9zi7chg

 

13 responses to “PPI – 09 – prutové soustavy

  1. Petr

    29.5.2015 at 12.23

    Kdyt nekde napises, ze treba posuv je derivaci energie napjatosti, tak to automaticky znamena reseni dle castiglianovy vety. Ty dodatecne parcialni derivace ti tam sami vyskoci. Pri tomhle zapisu je nemuzres vynechat a ani jiny zpusob nedoporucuju. Castiglian je univerzalnejsi

     
  2. Toru

    9.4.2014 at 22.05

    Děkujeme za parádní text. Kež by byla všechna skripta takhle zábavně a zajímavě napsaná. Jde to samo do hlavy 😀

     
    • Son Goku ssj4

      10.4.2014 at 0.35

      Jej 🙂 Ani nevíš(te), jak jsi(te) potěšili 🙂 (to „děkujeme“ mě mate). Jakékoli připomínky na zlepšení nebo nápady, co by se tu mohlo vyskytnout, jsou obrovsky vítány. Mám své dlouhodobé, prozatím skryté, plány. Ale jsem otevřen jakýmkoli nápadům 😉

       
  3. Zonda

    6.6.2013 at 19.49

    V téme: Vnitřní SN
    kde máš vyjadrenú tu energiu napiatosti že to je $\sum {(N_i \cdot l_i)/(E_i \cdot S_i)}$ tak ti tam nechýba náhodov ešte aj derivácia $dN_i/dN_4$ ?? či tam ta derivácia nieje ?

     
    • Son Goku ssj4

      7.6.2013 at 0.47

      Velmi dobrá otázka 🙂
      Toto je „zjednodušená forma“ výpočtu, dle které se dá vyřešit posunutí u TAHU/TLAKU. Nic takového neexistuje pro ohyb / smyk / krut.
      NEjedná se o Castiglianovu větu.
      Pokud bys tam, jak říkáš, dal ještě $dN_i/dN_4$ (Castiglian), musel by se před zlomkem ještě objevit integrál a ona parciální derivace by »měla« (nechci kecat) vyjít 1. Proto se dá JEN u tahu / tlaku takhle zjednodušit výpočet 🙂
      U ohybu pak už klasicky přes sumu itegrálů ~aka~ Castiglian.

       
      • zonda

        7.6.2013 at 14.14

        Tak teraz fakt neviem vo vsetkych skriptach a este aj v zosite zo cvik mam napisane ze
        $dW/dF=\sum((N_i\cdot L_i)/(E_i\cdot S_i) \cdot dN_i/dF)$
        Kde suma ide od 1 po n-prutov
        No a keby som to robil cez integral tak mi to tiez tak vychadza ze tam musi byt ta derivacia lebo po derivovani mi vzdy ostane bud jednotka, nula, alebo iba neaka konstanta a po integrovani sa ani jednotka, nula a ani konstanta nebude menit

         
  4. ales

    3.4.2013 at 23.29

    Čau. Skoro pokaždé, když si chci otevřít nějaký článek tak automaticky kliknu na obrázek a místo daného článku se mi pouze zvětší ten obrázek. Možná by bylo fajn dát do toho obrázku hypertextový odkaz, aby se po kliknutí na něj otevřel přímo ten článek.

     
    • Son Goku ssj4

      4.4.2013 at 21.19

      K otevření článku jsou k dispozici 2 linky. První je „název“ a druhý je „číst dále“, přidávat ještě třetí… Ne, že by to nešlo 🙂 Ale obrázek je tam zmenšený, jeho jediná šance, chudáka, na plné zobrazení je, když se na něj klikne 🙂
      Nic ve zlém, chápu, že to může být nepříjemné a na jiných webech to mají jinak, ale tady jsme tady. Bohužel neplánuji změnu.

       
      • Radek

        13.4.2013 at 14.10

        Přidávám se k tomu co napsal Ales. Pokud si chci obrázek zobrazit tak na něj kliknu až přímo na stránce článku, ale na úvodní straně bych od něj čekal odkaz na daný článek, tak jako to funguje například na zpravodajských serverech. Není to nějaký zásadní nedostatek, jen jsme zjevně většina z nás zvyklí na to, že všechno na co se dá na úvodní straně kliknout povede k nějaké další stránce – v tomto případě článku.

        Neber to prosím nijak špatně, je to snaha o konstruktivní kritiku k zlepšení stránek, které jsou už tak velice přínosné a za veškeré úsilí jim věnované ti patří mé uznání a velký dík. 🙂

         
  5. Strejda Šmoula

    2.4.2013 at 21.27

    Už jsem si říkal kdy zas konečně něco napíšeš, přece jenom už je to měsíc od posledního príspěvku 🙂

     
    • Son Goku ssj4

      3.4.2013 at 6.46

      To víš, bakalářka. Na měsíc jsem se tam sekl na blbých VVÚ, až pak zjistím, že vůbec není problém s VVÚ, ale s jeho souřadnicemi 🙂
      Soutěžní otázka! Jakým způsobem na 100% zjistím, že mám VVÚ dobře? 🙂

       
      • Herbert_the_bitch

        8.4.2013 at 8.03

        Jak zjistit, zda je VVU spravne? Obvykle postaci kvalitativne (na zakl. znalosti aplikace Schwedlerovych vet a dalsich nekolika malo zakonitosti/ overit prubehy ohybovych momentu a srovnat je se zavery vypoctu.

        Omlouvam sew za absenci diakritiky a nekonvencni ukonceni zavorky. Nejak tu blbnou znakovy sady.

         
        • Son Goku ssj4

          8.4.2013 at 17.58

          Ano 🙂 I tímto způsobem toho lze docílit. Schwedlerovy věty jsou úžasná pomůcka.
          Jeden z postupů, které jsem měl na mysli já, je -napsat a nakreslit VVÚ jak zleva, tak i zprava-.
          Dělám teď bakalářka a je to úžasný způsob, jak si ověřit, zda jsou dobře 🙂

           

Napsat komentář

Vaše emailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *