RSS

PPI – 04 – kvdr. momenty, Steinerovy věty posunutí, natočení a Mohr

Únor 20

-blackboard-college-wallpaper-the-science-of-first-class-h-n-ibackgroundz.comDruhý týden nám završil a konečně jsme probrali něco, co jsme probrané už měli mít tak ve 2. 3. hodině. Ale zas ne 1., jak minulý rok na cvičení 🙂

Dnes nás tedy čeká seznámení s kvadratickými [kvdr] momenty (ta zkratka je má osobní, nevím, zda to tak někdo zkracuje…) a to nějaké ty pravidla, která pak můžeme využít (reálně ani tak ne… vše se hledá v praxi v tabulkách) na výpočet kvdr. momentů složitějších těles, skládajících se z jednodušších těles – obdélník (čtverec), kruh a trojúhelník. Poté si řekneme něco k osám a jak je posunout či natočit, k čemu to natočení vůbec je (proč se s tím sr*t) a jak to udělat lépe, kvalitněji a přehledněji pomocí Mohrovy kružnice (roviny). Jde se do práce 🙂

Pozn. Trochu se mi tato lekce zdržela v publikování. Důvodem byla příprava na pohovor v zatím nejmenované firmě v nejmenovaném městě a 3-denní krásný výlet po horách s mou drahou polovičkou ^_^ Doporučuji, pročistí to nádherně hlavu.

Přednáška >> [PDF]<< a její audio nahrávka: PPI Přednáška [4] – 14.2.2013 – Fuis: >> [MP3] <<

Kvadratické momenty

Čo to k sakru?

Půjdem na to od konce. Abyste pochopili nějaké souvislosti.

Zadání – máme vetknutý nosník, na něj působí síla (z minulé přednášky jen tak pro -představu-).

doplnkovesily

Myslíte, že se bude chovat naprosto stejně, ať už to bude z jakéhokoli materiálu či tvaru?

Pokud bude z hliníku, nejspíš vydrží méně, než když bude z oceli. To máme charakteristiky $E$ a $\mu$ (Poissonovu konstantu).

Ale co když bude kulatá. Ohne se více, než když bude čtvercová, popř. obdélníková, nebo to bude I profil, O profil či L profil, který může být natočený prakticky jakýmkoli směrem?

Můžeme se tedy shodnout, že je důležité jak profil vypadá.

Už teď prozradím, že profilů je velké množství. Mnoho z nich je však symetrických a mnoho z nich se dá zesnadnit pomocí jednoduchých profilů, které si dovedeme zapamatovat i zpaměti, je to:

• Obdélník

• Čtverec (speciální forma obdélníka, kdy $b = a$)

• Kruh (plný, či dutý)

• Trojúhelník (ve škole prakticky nebudem (nejspíš) na cvičeních používat)

Tyto profily se charakterizují kvdr. momenty, které si teď přiblížíme.

Jen taková  poznámka: existují i Lineární (statické) momenty průřezu ($\Psi$), které značíme $U_y$ a $U_z$ (pokud je průřez kolmý na osu $x$), ty se používají hlavně pro polohu těžiště a tak. Nic, co by nás mělo extrémně zajímat.

Osové kvdr. momenty

$$J_y = \int_{\Psi} z^{2}dS$$

$$J_z = \int_{\Psi} y^{2}dS$$

Deviační kvdr. momenty

$$J_{yz} = \int_{\Psi} z \cdot y \ dS$$

Polární kvdr. momenty

$$J_{p} = \int_{\Psi} \rho^{2} dS$$

Kde $\rho$ je –vzdálenost k pólu-. (není to hustota)

Co nám z toho všeho plyne? Pokud budeme chtít vypočítat opravdu nějaké veeelmi komplikované tvary, toto jsou integrály, které použijeme. Je vhodné si uvědomit, že $J_{y} = z \cdot z$, $J_{z} = y \cdot y$ a $J_{yz} = z \cdot y$.

Polární kvdr. moment se pro $P \equiv O$ dá také napsat jako součet osových kvdr. momentů, neboli:

$$J_{p} = J_{z} + J_{y}$$

A další velmi důležitá věc, pokud pól náleží těžišti, $J_{p} = 0$.

Modul průřezu

Je jakási veličina, která dělí ony kvadratické momenty charakteristickým rozměrem (většinou).

V ohybu

$$W_{o} = \frac{J_{o}}{h_{o}}$$

kde $J_{o}$ je osový moment a $h_{o}$ je charakteristický rozměr (rozměr, který těleso nějakým způsobem charakterizuje, u kruhového průřezu je to poloměr, u čtvercového / obdélníkového je to jeho polovina přepony).

V krutu

$$W_{k} = \frac{J_{p}}{R}$$

kde $J_{p}$ je polární kvdr. moment a $R$ je vnější poloměr průřezu.

Dále platí různé zajímavé (usnadňující počítání) věty

Je dobré si je zapamatovat, protože jejich znalost se pak v písemce projeví tím, že na zadání mrknete a z voleje řeknete „tady bude $J_{p}$ nulovej a $J_{y}$ se bude rovnat $J_{z}$“, vyhnete se tak někdy naprosto zbytečnému počítání.

První věta

Kvdr. momenty celého průřezu k daným osám/pólům jsou rovny součtům kvdr. momentů částí průřezu k témže osám/pólům.

Česky řečeno: Součet oněch kvdr. momentů průřezů ($\Psi_{1} .. \Psi_{4}$) k ose $y-z$ je roven kvdr. momentu celého průřezu k té stejné $y-z$ ose.

soucetkvdrmomentuDruhá věta

Osové kvdr. momenty symetrického průřezu k ose symetrie k ose k ní kolmé jsou stejné.

Česky řečeno: Pokud alespoň jedna z os bude symetricky půlit onu oblast/podoblast (průřez), můžeme napsat, že se její kvdr. momenty rovnají.

soucetkvdrmomentustejnyTřetí věta

Osové kvdr. momenty symetrického průřezu k ose symetrie a k ose k ní kolmé jsou rovny dvojnásobku osového kvadratického momentu jeho symetrické části ke stejným osám.

Česky řečeno: Prakticky to stejné, co věta nahoře. Poku si vezmeme (nahoře) průřez $\Psi_{3}$ a $\Psi_{4}$, stačí nám vypočíst jen $\Psi_{3}$, abychom věděli $\Psi_{4}$.

Čtvrtá věta

Deviační kvadratický moment symetrického průřezu k pravoúhlému souřadnému systému, kde je alespoň jedna z os osou symetrie, je roven 0.

Česky řečeno: Pokud máme průřez, kterej je osou alespoň v jednom směru nějakým způsobem řízlej (ať už kolmo nebo šikmo), deviační moment $J_{yz} = 0$.

Průřezy

Jak už jsem naznačil, velké, komplikované a hnusné profily se dají popsat jednoduchými profily. Pokud tedy nemáme strojnické tabulky, nebo zlého vyučujícího, musíme (dle věty nahoře) spojit několik jednoduchých profilů dohromady (všechny musí být napsané k jedné ose), aby nám vyšlo ono monstrum.

Pustíme se do nich.

Obdélník

Pokud budeme počítat s centrálním systémem (jeho nulový bod bude ležet v těžišti tělesa), můžeme kvadratické momenty vypočíst dle integrálů uvedených výše, ale ve výsledku nám vyjde něco velmi lehkého, snadno zapamatovatelného (avšak lehce spletitelného 🙂 ).

obdelnikkvdr

Čtverec

Je to speciální případ obdélníka, kdy strana $b = h$. Je tedy logické, že bude mít prakticky stejné vzorce, jako obdélník nahoře.

ctvereckvdr

Kruh

Ať už v PPI či PPII, s tímto tvarem se budete setkávat asi nejčastěji. (Krom výpočtů trhlin, kde to bude vždy nějaký obdélník či čtverec)

kruhkvdr

Trojúhleník

Z minulého roku si pamatuji, že jsme tento profil brali v první, možná druhé hodině, pak se (možná) vyskytl na prvním zápočtu a od té doby jsme o něm neslyšeli. Abych pravdu řekl, téměř jsem zapomněl, že něco podobného existuje. Ale co víte, tento rok se s ním počítat může 🙂

trojuhelnikkvdr

Zde si můžete všimnou, že $J_{y}$ pro čtverec, jehož nulový bod je v těžišti, je stejný jako $J_{y}$ pro bod trojúhelníku na jeho ostrém okraji. Z toho se můžeme „dovtípit“, že $J_{y}$ pro čtverec, jehož nulový bod v těžišti nebude, ale bude na ostrém okraji bude jiný než pro ono těžiště. Ale o tom později 🙂

Jak už jsem naznačil na začátku, probrali jsme všechny možné profily, ale nezmínil jsem se ještě, proč bychom měli posouvat či ohýbat osy.

Kvdr. momenty průřezu při transformaci souřadnic

Dělí se na:

• Posuvy

• Natočení

Posunutí

Posunutí. Proč bychom ho měli vyžadovat? Proč by nás mělo zajímat? Existují jakési Steinerovy věty, díky kterým jsme schopni posouvat souřadný systém z těžiště do jiných míst. Pokud (jak už bylo řečeno výše) máme nějaký průřez rozdělený na spoustu menších průřezů, přesně pro tento případ se posunutí hodí.

Graficky znázorněné ho máme zde:

transpozice

Jak zde vidíme, že pokud chceme z bodu $O$ přemístit souřadný systém do $O^{\prime}$, vystačí nám jednoduché vzorečky. Pokud však nechceme přepočítávat opětovně kvdr. momenty k nové $O^{\prime} y^{\prime}-z^{\prime}$ ose, použijeme

Steinerovy věty:

steinerovyvety

Ty nám říkají, že pokud chceme posunout kvdr. moment $J_{y}$ z těžiště do jiné polohy, bude to tak, že k $J_{y_{T}}$ přičteme čtverec vzdálenosti kolmé na hledanou osu a vynásobíme to plochou řezu, ke kterému kvdr. moment počítáme.

Ještě jednou opakuji:

Steinerovy věty se používají, pokud chceme přenést kvdr. momenty z těžiště do nějakého jiného bodu (klidně i jiného těžiště).

V praxi to pak znamená, že řez, který si rozdělím na 3 podoblasti, spočtu tím, že z těžiště podoblastí přesunu všechny kvdr. momenty do těžiště kompletního řezu, sečtu je a mám výsledný kvdr. moment.

Pozor!

$J’_{y}$ i $J’_{z}$ nám vždy musí vyjít kladné, protože ať už posouváme přes $a$, $b$, či $-a$, $-b$, kvadrát nám to zkladní. Ovšem $J’_{yz}$ mezi sebou $a, b$ násobí, takže může vyjít záporný. Na druhou stranu pro kontrolu, pokud nám vyjdou $J_{y}$, $J_{z}$ záporné, někde bude chybka. 🙂

Info: V těžišti se nacházejí nejnižší kvadratické momenty. Pokud se od něj budeme vzdalovat, budou jejich velikosti jen narůstat.

Natočení

Natočení. Proč bychom ho měli vyžadovat? Proč by nás mělo zajímat? Steinerovy věty jsme použili pro posunutí Souřadného systému (dále jen SS) do centrální polohy, neboli se z něj stal CSS. My však budeme hledat tzv. hlavní CSS (HCSS). Co znamená slůvko hlavní?

Hlavní ~ deviační kvadratický moment je nulový. $J_{yz} = 0$.

Hledáme tedy takový úhel natočení, abychom se dostali do HCSS, kdy je $J_{yz} = 0$. Proč? Protože se nám extrémně zjednoduší pár různých výpočtů. Budeme moci počítat s hlavními napětími a hlavními kvdr. momenty. Hlavní je takové magické slůvko, které budeme mít rádi. ^_^

Grafické znázornění natočení by mohlo vypadat takto:

ssnatoceni

Hádám, že stále nechápete, proč to vůbec dělat. Snad se k tomu přiblížíme později při nějakých konkrétních příkladech. Pro teď jen řeknu, že nalezením tohoto úhlu, neboli nalezení HCSS máme jakýsi optimální souřadný systém, který je jakoby rovnovážný, nebo jak to nazvat, z hlediska zbytečného kroucení. Jestli vás matu, neberte tento odstavec vůbec v potaz.

Nalezení hlavního úhlu $\alpha$:

Přes velmi komplikované vzorce a cosiny a další zmetky se dostaneme k tomuto vzorci, který radím zapamatovat a uvědomit si, co tam jednotlivé části znamenají. Pro jistotu si je shrneme.

tangentahlavnihouhlu

$J_{yz}$ … Deviační moment. Spočteme pomocí Steinerových vět, popř. vyčteme z tabulek / spočteme přes integrál.

$J_{y}$ … Kvadratický osový moment k ose y (Steiner / pro jednoduchá tělesa si pamatujeme.)

$J_{z}$ … ——————– || ——————— z (nápodobně, jsou to takové ty $bh^{3}/12$ atd)

$\alpha_{h}$ … Hlavní úhel natočení. Díky němu se dostaneme do hlavního souřadného systému.

Co se s takovým úhlem Alfa dá dělat? Může dosahovat hodnoty 0 – 360°? Jak vidíme z rovnice výše, je to jakási závislost (podíl) deviačního momentu ($J_{yz}$) na rozdílu momentů osových ($J_{y} – J_{z}$). Tuto závislost si můžeme vynést do Mohrovy roviny, díky níž si uděláme jakýsi pestřejší přehled o tom, jak to s tím natočením vypadá.

Mohrova rovina

Mohrova rovina je grafické znázornění kvadratických momentů $J_{y}, J_{z}, J_{yz}$.

Nebudu dlouho zdržovat, zde je zobrazena. Přidal jsem tam polohy hlavních kvdr. momentů $J_{1}, J_{2}$ (řazeno vždy od největšího k nejmenšímu … 1 -> 2 -> 3 atd.), dále poznačil hledaný úhel (pozor, v mohrově rovině rovině je to (díky různým přepočtům) $2 \cdot \alpha$!), a tři nástřely otočení SS ve třech místech (ty divné modrozelené „buňky“).

mohrovarovinanew

Zde vidíme, že pro původní natočení, kdy existuje $J_{yz}$ máme vodorovnou a svislou osu $y-z$. Pokud však natočíme osy o $\alpha_{h}$, (bod $J_{1}$) nebo o $\alpha_{h}^{*}$ (bod $J_{2}$), deviační moment se nám vynuluje a $J_{y}$ se zvětší na $J_{1}$, resp. $J_{z}$ se zmenší na $J_{2}$.

Tato dvě hlavní kvadratická napětí se dají spočíst i početně:

hlavnikvdrmomenty

Další ze vzorců, který si určitě pamatovat. 🙂

Zkoušková otázka

Na konec bych přidal jednu ze zkouškových otázek.

Otázka nejspíš bude znít: Která osa je 1 a která 2.

Pokud je $J_{yz} < 0$

prvnivariantaosy

Řešení jsem si už dovolil vyznačit. Osa 1 protíná 1, 3 kvadrant. Osa 2 protíná 2, 4 kvadrant.

Pokud je $J_{yz} > 0$

druhavariantaosy

Pokud by to bylo opačně, Osa 1 by protínala 2, 4 kvadrant a osa 2 by protínala 1, 3 kvadrant.

Jak na to ale přijít?

Pokud! si to jde graficky představit, můžeme si říci:

Když začneme těleso rotovat kolem nějaké osy, kdy to bude klást větší odpor? Právě tam je hodnota kvadratického momentu větší a osu poznačíme číslem 1.

Pokud! je situace spekulativní, řídíme se hodnotou deviačního momentu.

$J_{yz}<0$

osa 1 … 1, 3 kvadrant

osa 2 … 2, 4 kvadrant

$J_{yz}>0$

osa 1 … 2, 4 kvadrant

osa 2 … 1, 3 kvadrant

To je pro dnešek vše, snad se líbilo. Příště si tuto látku v krátkosti zopakujeme a začneme VVÚ, alias Vnitřní Výsledné Účinky. Látku, na které pohoří významné procento lidí u PPI a nemilosrdně vyletí u zápočtu / zkoušky mnoho studentů v PPII.

 

Tags: , , ,

10 responses to “PPI – 04 – kvdr. momenty, Steinerovy věty posunutí, natočení a Mohr

  1. Anonymous

    18.4.2015 at 22.03

    Zdar, super stránka, hodne mi to pomohlo pochopit spoustu veci. Díky!

    Chci se zeptat, jestli by si sem mohl napsat nejaky tipy nebo triky jak uspesne zvladnout zkousku u pana Fuise, a jelikoz opakuji tak by se mi to hodilo dvakrat tolik))

     
  2. HanyS

    6.4.2015 at 13.32

    Nejlepší stránky!!! Kdyby takhle bylo vysvětlený všecko, tak bych měla snad i stípko… konečně mi 4PP dává smysl 🙂 Děkuji moc!

     
    • Son Goku ssj4

      6.4.2015 at 19.57

      🙂 Dík. Jsem rád, že pomáhají. Napiš mi klidně, co ti tu schází / co doplnit, popřípadě pokud máš něco, co by se sem mohlo hodit (vypočtené příklady / dobře udělané taháky), tak mi napiš 🙂 Sbírám všechno, co jde.

       
  3. ELitt

    16.3.2015 at 0.18

    Je to „strašně moc párty“ to všechno najednou chápat!

     
    • Son Goku ssj4

      16.3.2015 at 18.37

      Luxusní pojmenování radosti 😀

       
  4. anonymus

    15.3.2015 at 16.41

    Zdravím! Úplně náhodou jsem našel tvůj blog a stala se neuvěřitelná věc – už čtu bez přestání čtvrtou přednášku z PPI! To je něco neuvěřitelnýho vzhledem k tomu že jsem už na přednášky zanevřel 😀 Je fakt skvělý že sis dal tu práci a tohle všechno sepsal ! Přesně tohle jsem potřeboval, aby to někdo vysvětlil selským rozumem. Upřímně díky a budu se snažit to šířit dál aby se to dostalo k co nejvíc lidem!

     
    • Son Goku ssj4

      16.3.2015 at 18.37

      Lidi neblázněte, prudce se mi za posledních pár dní zvedla návštěvnost. To mě ještě donutíte sem i něco dávat 😀
      Každopádně děkuji 🙂 Tyto komentáře jsou takové pohlazení po duši. Když se na ty články zpětně dívám, koukám na mnoho, co by se dalo ještě zlepšit. Nechci však nic slibovat.

      P.S. Poděkováním mi budiž může být kontakt na mail s vašimi vypočítanými různými jinými (ale hlavně dobře) příklady. Scháním to vlevo vpravo, klidně mi to posílejte!!!
      … Kdybyste věděli, co mám ještě v plánu… Jen se k tomu dostat 🙂

       
  5. Jan Jílek

    8.4.2014 at 9.58

    Dobrý den,
    ve vzorci nalezení hlavního úhlu α máte chybu v čitateli chybí znaménko -. Jinak se mi to libilo.

     
    • Son Goku ssj4

      8.4.2014 at 13.12

      Zdravíčko, abych pravdu řekl, nemyslím si, že by tam byla chyba. Pokud se pak bavíme o napětích, mínus se tam vyskytuje. Ale pokud jen o 2Jyz / Jy-Jz, tak je to kladné. Jde to vidět z toho mohrova diagramu pár řádků pod tímto vzorce. Tg = protilehlá / přilehlá = 2*Jyz / Jy-Jz.

       
  6. Bubis20

    30.3.2013 at 11.28

    Velice dobre sepsane, moc mi to pomohlo, diky…

     

Napsat komentář

Vaše emailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *